6. Diketahui vektor u= 2i-4j-6k dan vektor v=2i-2j+4k proyeksi vektor orthigonal vektor u pada vektor v adalah... a. -4+8j+12k b. -4i+4j+8k c. -2i+2j-4k d. -i+2

Diketahui vektor u = 2i – 4j – 6k dan vektor v = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vektor orthigonal vektor u pada vektor v adalah –i + j – 2k. Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah.  

Perkalian vektor

• u • v = u₁ •v₁ + u₂ •v₂ + u₃ •v₃
• u • v = |u| • |v| • cos α

dengan α adalah sudut antara vektor u dan vektor v

Proyeksi vektor orthogonal vektor u pada v  

=  [tex]\frac{\bar{u} . \bar{v}}{|\bar{v}|^{2}} . \bar{v}[/tex]

Panjang proyeksi vektor (proyeksi skalar) orthogonal vektor u pada v  

=  [tex]|\frac{\bar{u} . \bar{v}}{|\bar{v}|}|[/tex]

Pembahasan

6. Diketahui vektor u = 2i – 4j – 6k dan vektor v = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vektor orthigonal vektor u pada vektor v adalah ...

Jawab

u • v = (2, –4, –6) • (2, –2, 4)

u • v = 2(2) + (–4)(–2) + (–6)(4)

u • v = 4 + 8 – 24

u • v = –12  

Panjang vektor v

|v| = [tex]\sqrt{2^{2} + (-2)^{2} + 4^{2}}[/tex]

|v| = [tex]\sqrt{4 + 4 + 16}[/tex]

|v| = [tex]\sqrt{24}[/tex]

|v|² = 24

Proyeksi vektor orthigonal vektor u pada vektor v adalah

=  [tex]\frac{\bar{u} . \bar{v}}{|\bar{v}|^{2}} . \bar{v}[/tex]

=  [tex]\frac{-12}{24} . \bar{v}[/tex]

=  [tex]-\frac{1}{2}[/tex] (2i – 2j + 4k)

= –i + j – 2k

Jawaban E

7. Diketahui vektor u = (4  2  5), vektor v = (5  3  7) dan vektor w = (7  1  4). Vektor 3u – 2v + w adalah ....

Jawab

3u – 2v + w

= [tex]3 \left[\begin{array}{ccc}4\\2\\5\end{array}\right] - 2\left[\begin{array}{ccc}5\\3\\7\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}7\\1\\4\end{array}\right] [/tex]

= [tex]\left[\begin{array}{ccc}12\\6\\15\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}10\\6\\14\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}7\\1\\4\end{array}\right] [/tex]

= [tex]\left[\begin{array}{ccc}9\\1\\5\end{array}\right][/tex]

Jawaban A

8. Diketahui vektor a = 4i + 3j + pk, vektor b = 3i – 4j + pk. Jika sudut antara vektor a dan vektor b adalah 60⁰, maka nilai p = .....

Jawab

|a| = [tex]\sqrt{4^{2} + 3^{2} + p^{2}} = \sqrt{16 + 9 + p^{2}} = \sqrt{25 + p^{2}} [/tex]

|a| = [tex]\sqrt{3^{2} + (-4)^{2} + p^{2}} = \sqrt{9 + 16 + p^{2}} = \sqrt{25 + p^{2}} [/tex]

a • b = (4   3   p) • (3   –4   p)

|a| • |b| • cos α = 4(3) + 3(–4) + p(p)

[tex]\sqrt{25 + p^{2}} \: • \: \sqrt{25 + p^{2}}[/tex] • cos 60⁰ = 12 – 12 + p²

(25 + p²) . ½ = p²

25 + p² = 2p²

25 = p²

p = ± 5

Jawaban C

9. Diketahui vektor a = (2  2  1), vektor b = (3  2  2) dan vektor c = (–4  3  0). Proyeksi vektor (2a + b) pada vektor c adalah ....

Jawab

2a + b  

= [tex]2 \left[\begin{array}{ccc}2\\2\\1\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}3\\2\\2\end{array}\right][/tex]

= [tex]\left[\begin{array}{ccc}4\\4\\2\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}3\\2\\2\end{array}\right][/tex]

= [tex]\left[\begin{array}{ccc}7\\6\\4\end{array}\right][/tex]

.

(2a + b) • c = [tex]\left[\begin{array}{ccc}7\\6\\4\end{array}\right] \: . \: \left[\begin{array}{ccc}-4\\3\\0\end{array}\right][/tex]

(2a + b) • c = 7(–4) + 6(3) + 4(0)

(2a + b) • c = –28 + 18 + 0

(2a + b) • c = –10

Panjang vektor c

|c| = [tex]\sqrt{(-4)^{2} + 3^{2} + 0^{2}}[/tex]

|c| = [tex]\sqrt{16 + 9 + 0}[/tex]

|c| = [tex]\sqrt{25}[/tex]

|c|² = 25

Jadi proyeksi vektor (2a + b) pada vektor c adalah

=  [tex]\frac{(2a + b) \: . \: c}{|c|^{2}} . c[/tex]

=  [tex]\frac{-10}{25} \: . \: c[/tex]

=  [tex]-\frac{2}{5} \left[\begin{array}{ccc}-4\\3\\0\end{array}\right] [/tex]  

=  [tex]\left[\begin{array}{ccc} \frac{8}{5} \\-\frac{6}{5}\\0\end{array}\right] [/tex]

Jawaban A

Pelajari lebih lanjut  

Contoh soal lain tentang vektor

• Proyeksi vektor u pada v: https://brainly.co.id/tugas/10367322
• Sudut antara dua vektor: brainly.co.id/tugas/10959708
• Operasi hitung vektor: brainly.co.id/tugas/9452159

------------------------------------------------

Detil Jawaban    

Kelas : 10

Mapel : Matematika Peminatan

Kategori : Vektor

Kode : 10.2.5

#AyoBelajar