Tunjukan bahwa deret bilangan genap 2+4+6+8+10+12+14+...+2n=n²+n berlaku untuk semua n € A dengan menggunakan induksi matematika

Kelas         : XII
Pelajaran   : Matematika
Kategori     : Pembuktian Metode Induksi Barisan & Deret
Kata Kunci : deret bilangan genap, metode induksi

Kode : 12.2.7 [Kelas 12 Matematika BAB 7 - Baris dan Deret]

Penyelesaian

Metode induksi matematika adalah cara pembuktian suatu pernyataan [tex]P(n)[/tex] untuk setiap bilangan asli n.

Berikut tahapan pembuktian dengan induksi matematika:

(1). Pembuktian pernyataan [tex]P(n)[/tex] benar untuk n = 1.

(2). Pembuktian pernyataan [tex]P(n)[/tex] benar untuk n = k. 

(3). Pembuktian bahwa jika [tex]P(n)[/tex] benar untuk n = k, maka [tex]P(n)[/tex] benar untuk n = (k + 1).

(4). Kesimpulan.

Pembuktian deret bilangan genap 
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + ... + 2n = n² + n  
dengan menggunakan induksi matematika

Langkah Pertama
n = 1
2(1) = (1)² + 1
2 = 2
Pernyataan [tex]P(n)[/tex] benar untuk n = 1.

Langkah Kedua
n = k
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + ... + 2k = k² + k
Pernyataan [tex]P(n)[/tex] benar untuk n = k.

Langkah Ketiga
n = k + 1
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)² + (k + 1)
Substitusikan dari Langkah Kedua
(k² + k) + 2(k + 1) = k² + 2k + 1 + k + 1
k² + k + 2k + 2 = k² + k + 2k + 2
k² + 3k + 2 = k² + 3k + 2
Bentuk kedua ruas telah sama.
Pernyataan [tex]P(n)[/tex] juga terbukti benar untuk n = k + 1.

Jadi, deret bilangan genap 
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + ... + 2n = n² + n
berlaku untuk semua n € A