tunjukan bahwa deret bilangan ganjil 1+3+5+7+9+...+(2n-1)=n2 berlaku untuk semua N E A dengan menggunakan induksi matematika

Kelas         : XII
Pelajaran   : Matematika
Kategori     : Pembuktian Metode Induksi Barisan & Deret
Kata Kunci : deret bilangan ganjil, metode induksi

Kode : 12.2.7 [Kelas 12 Matematika BAB 7 - Baris dan Deret]

Penyelesaian

Metode induksi matematika adalah cara pembuktian suatu pernyataan [tex]P(n)[/tex] untuk setiap bilangan asli n.

Berikut tahapan pembuktian dengan induksi matematika:

(1). Pembuktian pernyataan [tex]P(n)[/tex] benar untuk n = 1.

(2). Pembuktian pernyataan [tex]P(n)[/tex] benar untuk n = k. 

(3). Pembuktian bahwa jika [tex]P(n)[/tex] benar untuk n = k, maka [tex]P(n)[/tex] benar untuk n = (k + 1).

(4). Kesimpulan.

Pembuktian deret bilangan ganjil
1 + 3 + 5 + 7 + 9 +  ... + (2n - 1) = n²  
dengan menggunakan induksi matematika

Langkah Pertama
n = 1
2(1) - 1 = (1)²
1 = 1
Pernyataan [tex]P(n)[/tex] benar untuk n = 1.

Langkah Kedua
n = k
1 + 3 + 5 + 7 + 9 +  ... + (2k - 1) = k²  
Pernyataan [tex]P(n)[/tex] benar untuk n = k.

Langkah Ketiga
n = k + 1
1 + 3 + 5 + 7 + 9 +  ... + (2k - 1) + 2(k + 1) - 1 = (k + 1)²
Substitusikan dari Langkah Kedua
k² + 2(k + 1) - 1 = k² + 2k + 1
k² + 2k + 2 - 1 = k² + 2k + 1
k² + 2k + 1 = k² + 2k + 1
Bentuk kedua ruas telah sama.
Pernyataan [tex]P(n)[/tex] juga terbukti benar untuk n = k + 1.

Jadi, deret bilangan ganjil 
1 + 3 + 5 + 7 + 9 +  ... + (2n - 1) = n² 
berlaku untuk semua n € A