untuk menambah penghasilan sehari hari, ibu zida memproduksi dua jenis kue. setiap kue jenis 1 modalnya Rp. 200,00 dengan keuntungan 40%. sedangkan setiap jenis

Kelas: X
Mata Pelajaran: Matematika 
Materi: Pertidaksamaan Linear
Kata Kunci: Pertidaksamaan Linear Dengan Dua Variabel

Jawaban pendek:

Untuk menambah penghasilan sehari hari, Ibu Zida memproduksi dua jenis kue. Setiap kue jenis 1 modalnya Rp. 200,00 dengan keuntungan 40%. Sedangkan setiap jenis kue 2 modalnya Rp 300,00 dengan keuntungan 30%.

Jika modal yang tersedia setiap harinya 100.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 400 kue, maka keuntungan terbesar yang dapat diperoleh Ibu Zida adalah sebesar Rp 34000.

Jawaban panjang:

Dari soal cerita ini kita bisa mendapatkan pertidaksamaan berikut, bila kita umpamakan jumlah kue 1 adalah x dan jumlah kue 2 adalah y:

Persamaan 1: modal kue 1 sebesar 200,00 dan kue 2 modalnya Rp 300. Total modal yang tersedia setiap harinya 100.000

200x + 300 y ≤ 100000

disederhanakan menjadi:

2x + 3y ≤ 1000

Persamaan 2: paling banyak hanya dapat memproduksi 400 kue:

x + y ≤ 400

Fungsi sasaran: Setiap kue jenis 1 modalnya Rp. 200,00 dengan keuntungan 40%. Sedangkan setiap jenis kue 2 modalnya Rp 300,00 dengan keuntungan 30%.

keuntungan = (40% × 200)x + (30% × 300)y

                        = 80x + 90y

Untuk mencari keuntungan maksimal, kita selesaikan dengan tahapan berikut:

Tahap 1: Menentukan titik perpotongan kedua pertidaksamaan

Titik potong adalah ketika kedua garis pertidaksamaan memiliki nilai yang sama. Nilai ni dapat dicari dengan substitusi kedua persamaan.

Persamaan 1:

2x + 3y ≤ 1000

x = ½ (1000 – 3y)

Persamaan 2:

x + y ≤ 400

x = 400 – y

Disubstitusikan menjadi:

½ (1000 – 3y) = 400 – y

1000 – 3y = 800 – 2y

y = 200

x = 400 – y

   = 400 – 200

   = 200

Jadi kedua pertidaksamaan berpotongan pada titik (200, 200)

Tahap 2: Menentukan nilai batas pertidaksamaan

Nilai batas pertidak samaan (x = 0, dan y = 0) adalah pada:

untuk x = 0:

persamaan 1:

2x + 3y ≤ 1000

y = (1000 – 2x)/3

    = 333

persamaan 2:

x + y ≤ 400

y = 400 – x

   = 400

Karena lebih kecil sama dengan (≤) diambil nilai terkecil, jadi batasnya adalah titik (0, 333)

untuk y = 0:

persamaan 1:

2x + 3y ≤ 1000

x = (1000 – 3y)/2

    = 500

persamaan 2:

x + y ≤ 400

x = 400 – y

   = 400

Karena lebih kecil sama dengan (≤) diambil nilai terkecil, jadi batasnya adalah titik (400, 0)

Jadi wilayah yang diarsir pada grafik pertidaksamaan (lihat di bawah) dibatasi oleh titik-titik (0, 333), (200, 200) dan (400, 0)

Tahap 3: Memasukkan nilai batas ke fungsi sasaran

Fungsi sasaran adalah:

keuntungan = 80x + 90y

Nilai titik-titik (0, 400), (200, 200) dan (400, 0) dimasukkan ke fungsi sasaran tersebut.

untuk titik (0, 333):

keuntungan = 80x + 90y

                         = 80(0) + 90(333)

                         = 29970

untuk titik (200, 200):

keuntungan = 80x + 90y

                         = 80(200) + 90(200)

                         = 16000 + 18000

                         = 34000

untuk titik (400, 0):

keuntungan = 80x + 90y

                         = 80(400) + 90(0)

                         = 32000

Di sini terlihat bahwa nilai fungsi sasaran terbesar adalah pada (200, 200), sebesar 34000. Jadi keuntungan terbesar adalah Rp 34000, bila membuat 200 kue 1 dan 200 kue 2.