diketahui sin x = 4/5, maka tan x/2

Kelas: X
Mata Pelajaran: Matematika 
Materi: Persamaan Trigonometri
Kata Kunci: Identitas Trigonometri

 

Jawaban pendek:

 

Diketahui sin x = 4/5, maka tan x/2 dapat memiliki nilai tan (x/2) = ½ , atau tan (x/2) = -2

 

Jawaban panjang:

 

Pada persamaan trigonometri berlaku hubungan berikut antara sinus dan cosinus:

 

sin² x + cos² x = 1

 

sehingga:

 

sin x = √(1 – cos² x)

 

cos x = √(1 – sin² x)

 

Karena definisi tan x adalah:

 

tan x = sin x / cos x

 

maka jika sin x = 4/5, nilai tan x adalah:

 

tan x = sin x / cos x

           = sin x / √(1 – sin² x)

           = (4/5) / √(1 – (4/5)²)

           = (4/5) / √(1 – (16/25))

           = (4/5) / √(9/25)

           = (4/5) / (3/5)

tan x = 4/3

 

Kemudian, hubungan antara tangen sudut dan tangen sudut ganda adalah:

 

tan 2α = (2 tan α) / (1 – tan² α)

 

Bila kita substitusikan nilai 2α = x,  α = x/2, maka persamaan tersebut menjadi:

 

tan 2α = (2 tan α) / (1 – tan² α)

tan x = 2 tan (x/2) / (1 – tan² (x/2))

 

Sehingga:

 

4/3 = 2 tan (x/2) / (1 – tan² (x/2))

4 – 4  tan² (x/2) = 6 tan (x/2)

2 – 2  tan² (x/2) = 3 tan (x/2)

2 tan² (x/2) + 3 tan (x/2) – 2 = 0

(2 tan (x/2) – 1)(tan (x/2) + 2) = 0

 

Dengan penyelesaian:

 

tan (x/2) = ½ , tan (x/2) = -2